你的位置:烟台恩弗欧特种润滑剂有限公司 > 专题活动 > 【初中数学】三角形内角和的延伸模型—“飞镖”和“八字”模型
【初中数学】三角形内角和的延伸模型—“飞镖”和“八字”模型
发布日期:2022-08-15 23:04    点击次数:103

图片

七年级的同学学完第7章-平面图形的认识(二)后经常遇到求角度问题,用到的知识点无非以下几个:1、三角形内角和等于180°2、三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和3、多边形的内角和为(n-2)180°4、多边形的外交和为360°5、两直线平行,同位角相等6、两直线平行,内错角相等7、两直线平行,奇妙世纪同旁内角互补

图片

由三角形的内角和可以推出两个常用的基本模型;“飞镖”模型和“八字”模型。1、“飞镖”模型

图片

结论:∠ADB=∠A+∠B+∠C证明方法如下:方法1用外角去证

图片

Or

方法2用内角和去证

图片

数学思想-转化化归,专题活动无论哪种方法都是转化为三角形去解决。2、“八字”模型

图片

结论:∠A+∠B=∠C+∠D

图片

下面通过求五角星的内角和以及他的变式图形的内角和来熟悉“飞镖”模型和“八字”模型的使用。1、求图形(1)的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图片

图形(1)

简解:

图片

由“飞镖”模型可得到:∠CPD=∠A+∠ACP+∠PDA(绿色图形)

图片

由“八字”模型可得到:∠B+∠E=∠PCD+∠PDC(红色图形)

图片

      ∴∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

图片

2、求图形(2)的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图片

图形(2)

图解如下:

“飞镖”模型(绿色图形)

图片

“八字”模型(红色图形)

图片

   ∴∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

图片

3、求图形(3)的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图片

图形(3)

图解如下:

“飞镖”模型(绿色图形)

图片

“八字”模型(红色图形)

图片

   ∴∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

图片

4、求图形(4)的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图片

图形(4)

图解如下:

“飞镖”模型(绿色图形)

图片

“八字”模型(红色图形)

图片

   ∴∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

图片

5、求图形(5)的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图片

图形(5)

图解如下:

“八字”模型(红色图形)

图片

  ∵∠PCD+∠PDC=∠B+∠E

  ∴∠A+∠ACP+∠PDA-∠B-∠E

   =∠A+∠ACD+∠PCD+∠PDC+∠ADC-∠B-∠E

   =∠A+∠ACD+∠ADC

   =180°

  ∴∠A+∠ACP+∠PDA-∠B-∠E=180°

图片

6、求图形(6)的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图片

图形(6)

图解如下:

“八字”模型(红色图形)

图片

  ∵∠PCA+∠ACD+∠PDC=∠B+∠E

     ∠A+∠ACD+∠ADC=180°

  ∴(∠A+∠ACD+∠ADC)-(∠PCA+∠ACD+∠PDC)=180°-(∠B+∠E)

  ∴∠A+∠ACD+∠ADC-∠PCA-∠ACD-∠PDC=180°-(∠B+∠E)

  ∴∠A+∠ADC-∠PCA-∠PDC=180°-(∠B+∠E)

  ∴∠A+∠ADP-∠PCA=180°-(∠B+∠E)

 ∴∠A+∠B+∠ADP+∠E-∠PCA=180°

图片

7、求图形(7)的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图片

图形(7)

图解如下:

“八字”模型(红色图形)

图片

  ∵∠PCD+∠PDC=∠B+∠E

     ∠A+∠ACD+∠ADC=180°

  ∴(∠PCD+∠PDC)-( ∠A+∠ACD+∠ADC)=∠B+∠E-180°

  ∴∠PCD+∠PDC- ∠A-∠ACD-∠ADC=∠B+∠E-180°

  ∴∠PCA+∠ACD+∠PDA+∠ADC-∠A-∠ACD-∠ADC=∠B+∠E-180°

  ∴∠ECA+∠BDA-∠A=∠B+∠E-180°

 ∴∠A+∠B+∠E-∠ADB-∠ACE=180°

图片

最后看下它们之间的转变过程,图形发生改变时,有时结论不变,有时改变。

图片

图片

【注】转自《初中数学课外提升》。