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八上21讲 期末复习3 将军饮马所有模型及变式——终极篇
发布日期:2022-08-16 17:40    点击次数:177

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前面

          窗外银装素裹,虽然停课了,但是期末复习还是要进行的.加油,最后几天在家冲刺,你一定能行!将军饮马,这是笔者第三次写了,本讲会将本学期所有遇到的11个模型全部罗列,让大家举一反三,不再见题神伤! 

一、模型展现

(1)直线型

模型1:在直线l上求作点P,使PA+PB最小.

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原理:两点之间,线段最短.PA+PB最小值即为AB长.

模型2:在直线l上求作点P,使PA+PB最小.

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原理:和最小,同侧转异侧.两点之间,线段最短.

模型3:在直线l上求作点P,使|PA-PB|最大.

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原理:两边之差小于第三边,|PA-PB|最大值即为AB长.

模型4:在直线l上求作点P,使|PA-PB|最大.

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原理:差最大,异侧转同侧.两边之差小于第三边.

变式:在直线l上求作点P,使l平分∠APB,与此作法相同.

模型5:在直线l上求作点P,使|PA-PB|最小.

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原理:|PA-PB|最小为0,中垂线上的点到线段两端的距离相等.

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(2)角型

模型6:在OA,OB上求作点M,N,使△PMN周长最小.

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原理:作两次对称,两点之间,线段最短.

模型7:在OA,OB上求作点M,N,使四边形PQMN周长最小.

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原理:P,Q分别作对称, 沈阳皇姑碧塘医院两点之间,线段最短. 

模型8:在OA,OB上求作点M,N,

(1)使PM+MN最小.

(2)使PN+MN最小.

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原理:先连哪个点,就先做关于那个点所在射线的对称点.垂线段最短.

模型9:P,Q为OA,OB的定点,在OA,OB上求作点M,N,使PN+NM+MQ最小.

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原理:两点之间,线段最短,PN+NM+MQ最小值即为P’Q’的长.

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(3)平移型

模型10:在直线l上求作点M,N,学员成果使MN=a,且AM+MN+NB最小.

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原理:将l上的MN转化到B’B.(问题情境:将军从军营A出发,去河边l饮马,饮马完在河边牵马散步a米,回军营B.可以转化为饮完马,直接去军营B,在到达之前散步.)

模型11(造桥选址):

直线l1∥l2,在l1上求作点M,在l2上求作点N,使MN⊥l1,且AM+MN+NB最小.

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原理:

将MN转化为AA’.(可以理解为在A处先走过桥的路,再直达点B.)

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二、典型例题

例1:(模型2)

从点A(0,2)发出的一束光线,经x轴反射,过点B(4,3),求从点A到点B所经过的路径长.

解析:

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例2:(模型4)

已知点A(1,3)、B(3,-1),点M在x轴上,当AM-BM最大时,点M的坐标为______

解析:

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例3:(模型10)

如图,当四边形PABN的周长最小时,a=______

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解析:

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例4:(模型11)

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解析:

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例5:(结合勾股)

如图,在等边△ABC中,AB=6,N为AB上一点,且AN=2,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD上的动点,连结BM、MN,则BM+MN的最小值是_____

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解析:

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小结:

所有类型已归纳完,更多内容,详见

八上11讲 期中专题一 将军饮马类题型全覆盖

暑假特辑10《轴对称》之“将军饮马”(上)

暑假特辑11《轴对称》之“将军饮马”(下)

本讲思考题: 

已知点A(-3,-4)和B(-2,1).

(1)试在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小

(2)试在y轴上求一点P,使|QA-QB|的值最大

(3)若C(0,m),D(0,m-2),当m为何值时,

     四边形ABCD的周长最小.

 答案:(1) P (0,-1)

            (2) Q (0,11)

            (3) m = -0.2

END

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